3.6 Inequalities on Graphs - 章节练习

答案：
联立两方程：
\( 2y + 3x = 6 \) (1)
\( x - y = 5 \) (2)

从(2)得：\( y = x - 5 \)
代入(1)：\( 2(x - 5) + 3x = 6 \)
\( 2x - 10 + 3x = 6 \)
\( 5x = 16 \)
\( x = 3.2 \)
\( y = 3.2 - 5 = -1.8 \)
交点坐标为 \( (3.2, -1.8) \)

答案：
化简不等式：
\( 2y + 3x > x - y \)
\( 2y + y + 3x - x > 0 \)
\( 3y + 2x > 0 \)

两直线交点为 \( (3.2, -1.8) \)，直线 \( 3y + 2x = 0 \) 在该点上方时满足不等式。
根据图像分析，解集为 \( 3y + 2x > 0 \) 的区域。

答案：
联立求交点：
\( 3x^2 - 2x - 1 = x + 5 \)
\( 3x^2 - 3x - 6 = 0 \)
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
\( x = 2 \) 或 \( x = -1 \)

抛物线开口向上，在 \( x = -1 \) 和 \( x = 2 \) 之间位于直线下方。
解集为 \( -1 < x < 2 \)

答案：
联立求交点：
\( 2x^2 - 4x + 1 = 3x - 2 \)
\( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \)
判别式 \( \Delta = 49 - 24 = 25 = 5^2 \)
\( x = \frac{7 \pm 5}{4} \)，即 \( x = 3 \) 或 \( x = 0.5 \)

抛物线开口向上，在 \( x = 0.5 \) 和 \( x = 3 \) 之间位于直线下方。
解集为 \( 0.5 < x < 3 \)

答案：
联立求交点：
\( \frac{2}{x} = 1 \)
\( x = 2 \)（双曲线与水平线交于两点，但由于对称性，只有一个不同x值）

双曲线 \( y = \frac{2}{x} \) 在 \( x > 2 \) 时位于 \( y = 1 \) 下方，在 \( 0 < x < 2 \) 时位于上方。
解集为 \( x > 2 \)（不包括定义域外的点）

答案：
联立求交点：
\( x^2 - 4x - 12 = 6 + 5x - x^2 \)
\( 2x^2 - 9x - 18 = 0 \)
\( x^2 - \frac{9}{2}x - 9 = 0 \)
判别式 \( \Delta = \frac{81}{4} + 36 = \frac{81}{4} + \frac{144}{4} = \frac{225}{4} \)
\( x = \frac{9 \pm 15}{4} \)，即 \( x = 6 \) 或 \( x = -1.5 \)

当 \( x = 6 \) 时，\( y = 6^2 - 4\cdot6 - 12 = 36 - 24 - 12 = 0 \)
当 \( x = -1.5 \) 时，\( y = (-1.5)^2 - 4\cdot(-1.5) - 12 = 2.25 + 6 - 12 = -3.75 \)
交点坐标为 \( (6, 0) \) 和 \( (-1.5, -3.75) \)

答案：
两曲线交点为 \( x = -1.5 \) 和 \( x = 6 \)。
\( f(x) = x^2 - 4x - 12 \) 开口向上，\( g(x) = 6 + 5x - x^2 \) 开口向下。
在 \( x = -1.5 \) 和 \( x = 6 \) 之间，\( f(x) \) 位于 \( g(x) \) 下方。
解集为 \( -1.5 < x < 6 \)